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數(shù)學例題分析:
1.設a=lge,b=(lg e)2,c=lg e,則( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
解析:選B.∵1<e<3,則1<e<e<e2<10,
∴0<lg e<1.則lg e=12lg e<lg e,即c<a.
∵0<lg e<1,∴(lg e)2<lg e,即b<a.
又c-b=12lg e-(lg e)2=12lg e(1-2lg e)
=12lg e?lg10e2>0,∴c>b,故選B.
2.已知0<a<1,0<b<1,如果alogb(x-3)<1,則x的取值范圍是________.
解析:∵0<a<1,alogb(x-3)<1,∴logb(x-3)>0.
又∵0<b<1,∴0<x-3<1,即3<x<4.
答案:3<x<4
3.f(x)=log21+xa-x的圖象關于原點對稱,則實數(shù)a的值為________.
解析:由圖象關于原點對稱可知函數(shù)為奇函數(shù),
f(-x)+f(x)=0,即
log21-xa+x+log21+xa-x=0?log21-x2a2-x2=0=log21,
以1-x2a2-x2=1?a=1(負根舍去).
答案:1
4.函數(shù)y=logax在[2,+∞)上恒有|y|>1,則a取值范圍是________.
解析:若a>1,x∈[2,+∞),|y|=logax≥loga2,即loga2>1,∴1<a<2;若0<a<1,x∈[2,+∞),|y|=-logax≥-loga2,即-loga2>1,∴a>12,∴12<a<1.
答案:12<a<1或1<a<2
5.已知f(x)=(6-a)x-4a(x<1)logax (x≥1)是R上的增函數(shù),求a的取值范圍.
解:f(x)是R上的增函數(shù),
則當x≥1時,y=logax是增函數(shù),
∴a>1.
又當x<1時,函數(shù)y=(6-a)x-4a是增函數(shù).
∴6-a>0,∴a<6.
又(6-a)×1-4a≤loga1,得a≥65.
∴65≤a<6.
綜上述,65≤a<6.
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